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FLP - Grundlagen: Der Erwartungswert

Sie sitzen in einem Restaurant und schauen sich die Speisekarte an. Ihnen fallen zwei Gerichte auf, die Sie gleich gern mögen, doch eines davon ist günstiger. Sie entscheiden sich dafür, das günstigere zu bestellen. Damit haben Sie eine Entscheidung getroffen, indem Sie die Erwartungswerte beider Gerichte miteinander verglichen haben.

Sie fahren während der Hauptverkehrszeit auf einer Stadtautobahn. Es sieht so aus, als ob es in Ihrer Spur langsamer vorangeht als in der zu Ihrer Linken. Sobald sich Ihnen die Möglichkeit bietet, wechseln Sie auf die Spur zu Ihrer Linken, um schneller heimzukommen. Sie haben gerade eine Entscheidung auf der Basis der Erwartungswerte beider Spuren getroffen.

Sie spielen Poker. Der Pot ist groß, aber Ihre Hand ist nur mittelstark. Während einer der letzten Setzrunden sagen Sie: „Ach, was soll's, ich werde callen. Der Pot ist riesig." Sie haben gerade eine Entscheidung auf der Basis des wahrgenommenen Erwartungswertes getroffen, indem Sie Information über die Stärke Ihrer Hand und die Größe des Pots verwendet haben.

Der Erwartungswert ist ein Konzept, das jedermann in seinem täglichen Leben einsetzt, manchmal ohne sich dessen bewusst zu sein. Wann immer es eine Wahl gibt, kann der Erwartungswert nützlich sein, um eine Entscheidung zu treffen. Manchmal ist der Wert einer Sache nicht ausschließlich finanzieller Natur. Der Wert könnte ebenso auf einem Glücksgefühl beruhen, etwas, das Akademiker gern Nutzen nennen. Für gewöhnlich benötigt man keine Formel, um den Erwartungswert einer Entscheidung auszurechnen. Es gibt jedoch Fälle, in denen das Ergebnis einer solchen Berechnung kontraintuitiv ist oder aufzeigt, warum ein bestimmter Gedanke richtig oder falsch ist. Es kann ebenso hilfreich sein, um bestimmte Faktoren, die im Hold'em zu berücksichtigen sind, exakt zu bestimmen.

Der Erwartungswert (EW) ist ein Ausdruck, der den Wert eines Ereignisses, gemittelt über alle potentiell möglichen Ausgänge, beschreibt. Es ist ein Weg, Situationen zu beschreiben, die viele verschieden Ausgänge haben können. Betrachten wir eine Basketballspieler an der Freiwurflinie. Wenn Lebron James aus 1.000 Versuchen 750 Freiwürfe verwandelt hat, läge eine angemessene Schätzung seiner Chance, den nächsten Freiwurf zu verwandeln bei 75 %. Der EW der Anzahl an Punkten, die mit einem Wurf gemacht werden, beträgt 0,75. James wird entweder seinen Freiwurf verwandeln und einen Punkt machen, oder vorbeiwerfen und keine Punkte machen; aber im Durchschnitt wird er mit jedem Freiwurf die erwarteten 0,75 Punkte machen.

Das Konzept des EW wird im gesamten Kurs dazu verwendet, den Wert bestimmter Pokerspielweisen und Ideen zu demonstrieren. Dieser Artikel stellt den EW vor und zeigt, wie er berechnet und verwendet wird.

Berechnung des EW

Um den EW eines Ereignisses zu berechnen, nimmt man alle potentiell möglichen Ausgänge und weist diesen sowohl eine Wahrscheinlichkeit als auch ein Ergebnis zu. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten beträgt 100 %. Die Summe jedes einzelnen Ergebnisses, multipliziert mit ihrer Wahrscheinlichkeit, ergibt den EW dieses Ereignisses. Wenn der EW dieses Ereignisses eine positive Zahl ist, hat das Ereignis eine positive Erwartung, beziehungsweise einen positiven EW. Wenn der EW des Ereignisses eine negative Zahl ist, hat das Ereignis eine negative Erwartung, beziehungsweise einen negativen EW.

Es folgt als Beispiel der Wurf eines Würfels. Sie werfen einen fairen Würfel, bei dem jede der sechs Zahlen auf dem Würfel die gleiche Chance hat, oben zu liegen. Zeigt der Würfel eine Zahl zwischen Eins und Vier, gewinnen Sie $3. Zeigt der Würfel eine Fünf oder Sechs, verlieren Sie $3. Es folgen die Wahrscheinlichkeiten und Ergebnisse für jeden Wurf.

 Würfel

 W'keit

Ergebnis

W'keit x Ergebnis

 1

1/6

+$3 

+$0,50 

 2

1/6 

+$3

+$0,50 

 3

1/6 

+$3 

+$0,50

 4

1/6 

+$3

+$0,50

 5

1/6

-$3 

-$0,50

 6

1/6 

-$3

-$0,50 

 Gesamt

6/6

N/A 

+$1,00 

Die letzte Spalte ergibt sich als Produkt aus der W'keit-Spalte und Ergebnis-Spalte. Addiert man alle Zahlen in dieser Spalte, erhält man als Ergebnis den EW eines Wurfes: +$1. Sie erwarten somit, bei jedem Wurf $1 Gewinn zu machen. Dennoch werden Sie niemals exakt $1 bei einem bestimmten Wurf erhalten. Entweder gewinnen Sie $3 oder Sie verlieren $3. Diese Information kann als mathematische Gleichung niedergeschrieben werden:

EW eines Würfelwurfes =  1/6 x (+$3) + 1/6 x (+$3) + 1/6 x (+$3) + 1/6 x (+$3) + 1/6 x (-$3) + 1/6 x (-$3) = $1,00

Die EW-Gleichungen, die in diesem Kurs Verwendung finden, werden in der Form der unten stehenden Tabelle dargestellt. Die Action-Spalte zeigt das Ereignis, die Rechnungspalte beschreibt den mathematischen Weg und die Ergebnisspalte liefert die Antwort. Folgend wurde obige Gleichung in diese Form gebracht.

 Action

 Rechnung

Ergebnis

 Wurf eines Würfels

1/6 x (+$3) + 1/6 x (+$3)    

 

 

+ 1/6 x (+$3) + 1/6 x (+$3) 

 

 

 + 1/6 x (-$3) + 1/6 x (-$3)   

+$1,00 

In der Mathematik werden Operationen in Klammern zuerst ausgeführt (in diesem Fall gibt es keine Operationen in Klammern), danach folgt Punkt- vor Strichrechnung. In der EW-Gleichung für den Wurf eines Würfels multipliziert man und erhält +$0,50. Dies führt man für alle Terme aus, bevor man sie zusammenaddiert.

Schauen wir uns eine andere Tabelle an. Wenn der Würfel eine Eins zeigt, gewinnen Sie $100; aber sie verlieren $1 bei jeder anderen Zahl. Dies ist ein großartiges Spiel für Sie, vorausgesetzt, dass Ihr Gegner nicht betrügt. Diese kürzere Gleichung ist einfacher als jeden Term auszuschreiben.

Action

Rechnung

Ergebnis

 Wurf eines Würfels

(1/6 x $100) + (5/6 x -$1)

$15,83

Es ist nicht notwendig, jedes einzelne Würfelergebnis von Zwei bis Sechs in der Rechnungspalte auszuschreiben, da sie alle das gleiche Ergebnis haben, einen Verlust von $1. Das Ergebnis der Gleichung beträgt $15,83. Sie erwarten somit, durchschnittlich $15,83 pro Würfelwurf Gewinn zu machen. Verluste sind häufiger als Gewinne; durchschnittlich verlieren Sie von sechs Würfen fünfmal. Die Höhe des Gewinns überragt die Höhe des Verlustes jedoch um soviel, dass Sie eine positive Erwartung von durchschnittlich $15,83 pro Wurf haben.

Es folgt ein Beispiel für Hold'em. Sie spielen $10-$20-Hold'em und der Pot liegt bei $80 nach dem Turn. Sie haben einen Open-Ended-Straight-Draw und sind sich zu einhundert Prozent sicher, dass Ihr Gegner eine Hand hält, die Sie nicht schlagen können, es sei denn, Sie machen Ihre Straight. Wenn Sie jedoch Ihre Straight bekommen, werden Sie gewinnen. Sie schätzen, dass Sie eine 17%-Chance haben, Ihre Straight zu machen und dementsprechend eine 83%-Chance, dass Sie sie verpassen (Die Artikel: Outs und Potodds bezeichnen näher, wie man seine Gewinn- und Verlustchancen berechnet.)

Ihr Gegner setzt $20 und Sie müssen entscheiden, ob Sie callen oder folden. Sie haben noch $20 in Ihrem Stack; dies bedeutet, dass Sie im Falle eines Calls auf dem River nicht mehr gewinnen oder verlieren können, da Sie bereits all-in sind. Wenn Sie callen und gewinnen, haben Sie $100 gewonnen. Wenn Sie callen und verlieren, haben Sie $20 verloren. Finden Sie heraus, ob Callen einen positiven EW hat.

Action

Rechnung 

Ergebnis

 $10-$20-Problem

(17 % x $100) + (83 % x -$20)

+$0,40

Sie erwarten, mit einem Call $0,40 Gewinn zu machen. Der EW eines Folds beträgt $0, da Sie weder mehr Geld riskieren noch im Gegenzug irgendetwas erhalten. $0,40 ist größer als $0 und somit ist callen die korrekte Entscheidung.

Die Chips, die Sie bereits in den Pot investiert haben, sind "versunkene" Kosten. Sie gehören zum Pot und nicht mehr Ihnen. Ihnen gehört ein Anteil am Pot, solange Sie noch eine Chance haben, die Hand zu gewinnen. Wenn Sie EW-Rechnungen durchführen, sollten Sie die Chips so behandeln, als gehörten Sie zum Pot.

Wenn Sie diese Situation mehrmals hintereinander auf die gleiche Weise spielen, werden Sie manchmal $100 gewinnen; doch wesentlich häufiger werden Sie $20 verlieren. Durchschnittlich erwarten Sie pro Hand, $0,40 Gewinn zu machen. Am Pokertisch kann es unter Umständen schwierig werden, diese Berechnungen im Kopf durchzuführen. Der Artikel Potodds zeigt einen einfacheren Weg auf, über Potodds-Berechnungen zur richtigen Entscheidung zu gelangen.

Pokerspieler versuchen immer in Situationen zu kommen, in denen sie einen positiven EW haben, unabhängig davon, ob sie sich dieser Tatsache bewusst sind oder nicht. Gute Spieler sind in der Lage, zwischen Situation mit positivem EW und Situationen mit negativem EW zu unterscheiden. Sollte sich eine Situation mit positivem EW ergeben, sind sie dabei. Wenn die Situation einen negativen EW hat, steigen sie aus. Schlechte Spieler sind nicht in der Lage, zwischen positivem und negativem EW zu unterscheiden, sodass sie sich oftmals auch auf Situationen einlassen, in denen sie einen negativen EW haben; und manchmal aussteigen, wenn sie einen positiven EW haben. Das Kernziel dieses Kurses besteht darin, Ihnen zu helfen, im Limit Hold'em zwischen Situationen mit positivem EW und Situationen mit negativem EW zu unterscheiden. Wenn Sie erst einmal in der Lage sind, Situationen mit positivem EW zu erkennen, besteht Ihr Ziel darin, das Spiel zu finden, das Ihren EW maximiert.

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